Заслуженный артист РСФСР (11.04.1957).
Народный артист РСФСР (11.11.1971).
В 1942 году окончил Театральное училище имени Щукина, курс Анны Орочко.
В том же году был принят в труппу театра имени Евг. Вахтангова.
Прошёл почти всю войну во фронтовом филиале Вахтанговского театра. Форсировал Днепр, получил орден, победу встретил в Берлине. А потом вновь вышел на подмостки родного театра.
Сыграл около 50 ролей в кино, исполнитель небольших характерных ролей. Герои Александра Граве — люди интеллигентные, благородные, мудрые. Наиболее известная роль — Огурцов в военной комедии «Беспокойное хозяйство».
В его жизни было и радио, и телевидение, и мультипликация, и Щукинское училище (преподавал с 1986 года; профессор, 1998).
Выпустил два курса в качестве художественного руководителя: в 1992 году — Коми-пермяцкую национальную студию и в 2000 году — актёрский курс (ученики — Ю. Колокольников, Н. Швец, Д. Белых, Л. Тихомирова, К. Иванченко).
Кинематограф же больше использовал внешние данные Александра Граве, данные истинного интеллигента — его мягкие черты, мудрые глаза, слегка ироничные нотки.
Ушёл из жизни 5 марта 2010 года в Москве после продолжительной болезни. Похоронен 9 марта на четвёртом участке Алексеевского кладбища столицы.